Persoalan Sejarah Matematika

(Aritmatika dan Aljabar Mesir, Perhitungan Bilangan Hindu Arab, Penemuan Bilangan Irrasional, Persoalan Aneh dalam Papyrus Rhind, Penemuan Bilangan Prima)

Tuntutan terhadap matematika terus berkembang seiring dengan kemajuan peradaban manusia. Matematika tidak tumbuh sendiri namun tumbuh bersama disiplin ilmu lainnya terutama ilmu filsafat dan ilmu fisika, saling mengisi dalam memecahkan masalah kehidupan dan lingkungannya. Disamping menjadi dasar ilmu teknik misalnya fisika, matematika juga memberikan inspirasi pemikiran kepada bidang lainnya seperti kedokteran/medis, bidang sosial, ekonomi, psikologi, arsitektur dan kegiatan budaya seperti pada seni musik dan lukis. Dapat dikatakan bahwa fungsi matematika selain mengenai matematika itu sendiri juga merupakan suatu bahasa komunikasi, proses dan interaksi bagi pengetahuan dan ilmu pengetahuan lainnya. Matematika itu indah jika kita mengenalnya dan mencoba mengerti jalan pikirannya. Tidak  ada yang perlu ditakutkan dalam mengenal matematika.

Dalam sejarah metematika kita dapat menemukan persoalan yang dihadapi pada jamannya misalnya:

A.      Aritmetika dan Aljabar Mesir

Semua dari 110 soal yang terdapat di papyrus Moscow dan Rhind mengenai bilangan dan kebanyakan sifatnya sederhana. Salah satu akibat dari angka Mesir ialah corak aditif. Perkalian dan pembagian biasanya dilakukan dengan operasi-operasi perkalian dua. Sebagai contoh cari hasil kali dari 26 dan 33. Karena 26=16+8+2, kemudian menjumlah perkalian dari 33. Perhitungan tersebut dapat disusun sebagai berikut:

1	33
*2	66
4	132
*8	264
*16	528
	858

Penjumlahan dari perkalian yang tepat dari 33 adalah perkalian yang ditandai dengan bintang dan hasilnya adalah 858. Contoh dari pembagian ,membagi 753 dengan 26. Berturut-turut bilangan pembagi 26 kita lipat duakan sampai saat perkalian yang berikutnya melampaui bilangan yang dibagi.

1	26
2	52
*4	104
*8	208
*16	416
28

karena 753  = 416+337

                   = 416+208+129

                   = 416+208+104+25

Dengan memperhatikan bilangan-bilangan yang ditandai bintang diatas, hasilnya baginya adalah 16+8+4=28 dengan sisa 25.

Orang-orang mesir berusaha menghindari beberapa kesulitan dalam perhitungan pecahan-pecahan dengan menyajikan semua pecahan,kecuali  sebagai jumlah pecahan-pecahan dengan satuan. Reduksi ini dimungkinkan oleh daftar yang memuat pecahan dari bentuk . Soal-soal dari papyrus Rhind didahului dengan daftar serupa untuk semua bilangan ganjil 5 sampai 101. Jadi diperoleh dinyatakan sebagai +, dinyatakan sebagai dinyatakan sebagai + . Daftar ini dimanfaatkan dalam beberapa soal papyrus. Banyak dari 110 soal dalam papyrus Rhind dan Moscow memperlihatkan asal yang praktis seperti membahas soal-soal mengenai roti dan bir, campuran makan untuk ternak dan penyimpanan gandum. Banyak diantaranya hanya memerlukan persamaan linear sederhana. Missalnya untuk memecahkan . Ambil nilai sebarang yang mudah untuk x, misalkan x=7. Maka  dan bukan 24. Karena harus dikalikan 3 untuk menghasilkan 24,x yang benar haru 3(7) atau 21.

            Dalam papyrus Rhind ditemukan tanda-tanda plus dan minus. Tanda pertama mewakili sepasang kaki yang berjalan dari kanan ke kiri dan yang lain sepasang kaki yang berjalan dari kiri ke kanan. Tanda tersebut digunakan pula untuk menyatakan kesamaan dan bilangan.

B.       Penghitungan Bilangan Hindu Arab

            Orang-orang Hindu umumnya menulis di atas papan tulis hitam kecil dengan suatu pena dari rumput-rumputan yang dibasahi dengan cap putih yang mudah dihapus. Tempat untuk menulis hanya sedikit dan agar dapat dibaca angka-angkanya harus cukup besar tetapi penghapusan dan pembetulan mudah sekali dilakukan. Oleh karena itu cara menghitungnya dibuat sedemikian rupa agar ruang penulisan dapat digunakan dengan menghapus sebuah angka segera setelah selesai digunakan.

            Penambahan secara Hindu kuno mungkin dilakukan dari kiri ke kanan dan bukan dari kanan ke kiri seperti yang kita lakukan sekarang. Misalnya penambahan 345 dan 488.

8	3
7	2	3
3	4	5
4	8	8

Yang melakukan hitungan mengatakan 3+4=7 dan menulis angka 7 diatas kolom yang kiri. Berikutnya 4+8=12 yang merubah 7 menjadi 8 diikuti angka 2. Maka angka 7 dihapus dan ditulis 82. Lalu 8+5=13 yang merubah angka 2 menjadi 3,diikuti dengan 3 lagi dan jawaban terakhir 833 tertera pada tepi atas tablet. Dalam suatu ulasan karya Bhaskara:dijumpai cara lian penjumlahan 345 dan 488 akan berjalan sebagai berikut:

Jumlah satuan              5+8=   13

Jumlah puluhan           4+8= 12

Jumlah ratusan            3+4= 7

Jumlah                                = 8 3 3

Banyak cara digunakan untuk perkalian. Misalnya perkalian 569 dengan 5. Dapat dikerjakan pula dari kiri ke kanan.

	8	4
2	5	0	5
	5	6	9	5

Tulis 569 diikuti bilangan untuk memperbanyak 5 pada garis yang sama.Karena 5x5=2, maka 25 ditulis diata 569. Selanjutnya 5x6=30 yang merubah angka 5 dalam 25 menjadi 8diikuti suatu 0. Angka 5 dicoret dan menulis 8 diatasnya. Lalu 5x9=45 yang merubah 0 menjadi 4 diikuti dengan 5. Hasil kali yang terakhir 2845 sekarang Nampak pada bagian atas tablet.

Suatu perkalian yang lebih berkomplikasi seperti 135x12. Dapat diselesaikan dengan menghitung seperti cara diatas 135x4=540, lalu 540x3=1620. Cara perkalian yang lain yang dikenal oleh orang-orang Arab dan mungkin didapat dari orang-orang Hindu banyak menyerupai cara sekarang.

Pengembangan untuk operasi-operasi aritmetika elementer dimulai di India mungkin sekitar abad kesepuluh atau kesebelas diambil oleh orang Arab dan kemudian dibawa ke Eropa Barat dan disana diubah menjadi bentuk yang sekarang.

C.      Penemuan Bilangan Irrasional

Keperluan hidup sehari-hari menuntut untuuk selalu mengukur dan menghitung. Untuk mencukupi kebutuhan pengukuran tidak hanya dibutuhkan bilangan bulat melainkan diperlukan pecahan-pecahan karena jarang sekali pengukuran dapat menghasilkan bilangan bulat. Bilangan rasional dapat ditafsirkan dengan geometri yang sederhana yaitu tandailah sebuah garis denagn titik 0 dan 1. Dari sini bilangan-bilangan negatif bisa ditunjukkan pada titik sebelah kiri 0 bilangan bulat positif di sebelah kanan 1 sedangkan pecahan-pecahan q dinyatakan dengan titik-titik yang membagi tiap satuan selisih dalam bagian yang sama. Dengn cara seperti itu muncul kesenjangan,bahwa terdapat titik pada garis itu yang tidak mewakili bilangan rasional. Para pengikut Phytagoras menunjukkan bahwa tidak ada bilangan rasional manapun yang menyatakan titik P dalam garis itu yang berjarak dari OP sebesar diagonal dari bujursangkar denagn sisi sebesar 1 satuan.

 

0

1

Sehingga perlu diciptakan bilangan baru untuk menyatakan bilangan tersebut. Dari sinilah lahir bilangan irrasional. Untuk membuktikan bahwa panjang diagonal tersebut bukan bilangan rasional atau membuktikan  adalah irrasional. Dalam hal ini dibutuhkan memisalkan  bilangan rasional artinya =,dimana a dan b sebagai bilangan bulat prima maka

=

   a= b atau a²=2b²

karena a²=2 kali suatu bilangan bulat maka a² genap sehingga a juga genap.

Misalkan a=2c maka persamaan menjadi

4c²=2b²

2c²=b², sehingga b² genap dan b pun juga genap.

Tetapi ini tidak mungkin karena a dan b tidak mungkin genap karena merupakan bilangan prima relatif. Jadi asumsi bahwa  bersifat rasional  telah membawa pada kemustahilan dan harus dibatalkan.

Penemuan irrasional  ini menimbulkan kebingungan dalam barisan Phytagoras. Penemuan ini tidak hanya mengacaukan asumsi dasar bahwa segala sesuatu berlandaskan bilangan-bilangan bulat, tetapi karena batasan Phytagoras mengenai proporsi menganggap bahwa semua ukuran sejenis ada satuan ukurannya yang sama, maka semua dalil-dalil dalam teori Phytagoras tentang proporsi harus dibatasi pada  satuan ukuran sama.

Dalam waktu lama  adalah satun-satunya bilangan irrasional yang dikenal. Baru kemudian menurut Plato,Thecdoris menunjukkan bahwa          juga merupakan bilangan irrasional.

D.      Persoalan yang Aneh dalam Papyrus Rhind

Sekalipun tidak dijumpai kesulitan dalam pengungkapan dan penafsiran kebanyakan soal-soal dalam papyrus Rhind ada satu soal yaitu soal nomer 79 yang penafsirannya tidak begitu pasti. Dalam soal ini terdapat sekumpulan data yang ganjil yang diterjemahkan yaitu sebagai berikut:

Perusahaan pertanian

Rumah                                7

Kucing                                         49

Tikus                               343

Ikatan gandum                          2401

Ukuran hekat              16807

19607

Dengan mudah dapat dikenali bilangan-bilangan itu sebagai lima perpangkatan yang pertama dari 7 disusul jumlahnya. Karena inti semua diduga bahwa penulisannya disini memperkenalkan istilah-istilah lambing seperti rumah,kucing dan sebagainya untuk perpangkatan satu,dua,tiga dan seterusnya.

Suatu keterangan yang lebih bisa diterima dan menarik telah diberikan oleh sejarah Moritz Cantor. Ia menganggap ini sebagai soal kuno yang mendahului soal yang dikenal umum pada abad pertengahan dan diberikan oleh Leonard Fibonanci pada tahun 1202 dalam karya Libber Abaci. Soal-soal yang dimuat dalam buku ini terdapat berikut: “ Ada tujuh orang wanita berada dijalan yang menuju Roma. Tiap wanita mempunyai tujuh kuda, tiapo kuda membawa tujuh karung, tiap karung membawa tujuh potong roti, tiap roti disertai tujuh pisau, dan tiap pisau dimasukkan dalam tujuh sarung. Wanita,kuda, karung, potongan roti, pisau dan sarung, berapakah seluruhnya yang berada di jalan menuju Roma?”.

Disni dijumpai suatu soal masih terpelihara dari perbendaharaan teka-teki dunia. Soal ini jelas sudah tua waktu Fibonanci memasukkan suatu versi dalam Liber Ataci. Tujuh ratus lima puluh tahun kemudian kita membaca suatu versi lain. Dengan sendirinya orang bertanya-tanya apakah dalam soal mesir yang kuno juga terdapat pemutarbalikan yang mengherankan seperti yang terdapat selama inggris kuno.

E.       Penemuan Bilangan  Prima

Dalam artmatika nama Erasosthenes disebut sehubungan dengan cara  untuk menemukan semua bilangan prima yang besarnya kurang dari suatu bilangan tertentu. Cara ini disebut dengan nama saringan. Kita tulis berturut-turut semua bilangan ganjil yang lebih kecil dari n dimulai dengan 3. Bilangan-bilangan komposit dalam urutan itu disaring dengan mencoretnya,tiap bilangan ketiga setelah 3, tsemua bilangan kelima setelah 5, semua bilangan ketujuh setelah 7, semua bilangan kesebelas setelah 11 dan seterusnya. Dengan cara ini beberapa bilangan akan dicoret lebih dari satu kali.

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 dst

Semua bilangan yang tertinggal bersama denagn bilangan 2 merupakan daftar bilangan prima yang lebih kecil n.

Hasil yang dicapai pada zaman kuno adalah pembuktian Euclid bahwa jumlah bilangan prima adalah tak terhingga dan saringan Erastosthenes untuk menemukan semua bilangan prima. Dari saringan Erastosthenes dapat dibuat sebuah rumus yang rumit yang dapat menentukan jumlah bilangan prima dibawah n, jika bilangan-bilangan prima ini dibawah n telah diketahui. Rumus ini telah banyak diperbaiki oleh Ernst Meissel yang berhasil menunjukkan bahwa jumlah bilangan prima dibawah 10⁸ adalah 5.761.455. Ahli matematika Amerika D.H Lehmer  menunjukkan jumlah bilangan prima dibawah 10⁹ adalah 50.847.543. Ia menunjukkan juga bahwa jumlah bilangan prima dibawah 10¹⁰ adalah 455.052.511.

Sebuah impian dari ahli-ahli teiri bilangan ialah untuk menemukan fungsi f(n) untuk bilangan bulat positif n hanya akan menghasilkan bilangan-bilangan prima dan deretan bilangan prima yang didapat dengan cara berbeda dalam jumlah tak terhingga. Banyak dugaan yang tidak dibuktikan mengenai bilangan prima. Salah satu diantaranya menyatakan bahwa ada pasangan-pasangan dalam jumlah tak terbatas dari bilangan prima kembar atau prima dalam bentuk p dan p+2, seperti 3,5,11,dan 13, 29 dan 31. Kemajuan dalam masalah berapa jumlah bilangan prima,waktu ahli matematika Rusia Schnirreimann menunjukkan bahwa setiap bilanganbulat positif dapat dinyatakan sebagai jumlah dari tidak kebih 300.000 bilangan prima. Kemudian ahli metematika Rusia Vinogradeff menunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat positif sedemikian hingga tiap bilangan n dapat dinyatakan sebagai jumlah dari tidak lebih empat bilangan prima tapi pembuktian ini tdak sedikitpun memungkinkan untuk menaksir besarnya n.