Ontologi, Epistemologi dan Aksiologi sebagai Landasan Filsafat Matematika

Dewasa ini manusia berfikir kritis tak terkecuali ilmuwan sains dan matematika yang mampu melahirkan ide-ide dan metode pembelajarannya. Filsafat umum dan filsafat matematika saling melengkapi. Filsafat matematika saling berhubungan dengan fungsi dan struktur teori-teori matematika. Filsafat matematika adalah segala sesuatu pemikiran reflektif terhadap persoalan mengenai segala hal yang menyangkut landasan matematika, serta hubungan matematika dengan segala segi dari kehidupan manusia. Filsafat matematika merupakan studi matematis mengenai sifat alami dari matematika khususnya metode, konsep, analisa, pemaparan, dan penjelasan mengenai matematika. Ada tiga landasan filsafat matematika yaitu ontologi matematika, epistemologi  matemtika, aksiologi matematika.

1.    Ontologi Matematika

Ontology terdiri dari dua kata yaitu ontos yang berarti sesuatu yang berwujud, logos yang berarti ilmu. Jadi ontologi adalah teori mengenai apa yang ada, dan membahas tentang yang ada, yang tidak terikat oleh satu perwujudan tertentu. Ontologi berupaya mencari inti yang termuat dalam setiap kenyataan. Obyek formal dari ontologi adalah hakikat seluruh realitas.

Argumen ontologi pertama kali dilontarkan oleh Plato (428-348 SM) dengan teori ideanya. Menurut Plato, setiap yang ada di alam nyata ini pasti ada ideanya. Ide yang dimaksud oleh Plato adalah definisi atau konsep universal dari tiap sesuatu. Ide manusia menurut Plato adalah badan hidup yang kita kenal dan bisa berpikir. Ide-ide itu berada dibalik yang nyata dan ide itulah yang abadi.

Argumen ontologis kedua dilontarkan oleh St.Augustine (354-430M). Menurut  Augustine, manusia mengetahui dari pengalaman hidupnya bahwa dalam alam ini ada kebenaran. Namun, akal manusia terkadang merasa bahwa ia mengetahui apa yang benar, tetapi terkadang pula merasa ragu-ragu bahwa apa yang diketahui adalah suatu kebenaran.

Eksistensi matematika juga menjadi bahan pemikiran filsafat. Suatu hal yang menjadi problem adalah apakah matematika ditemukan oleh manusia atau diciptakan oleh budinya. Pendapat matematika sebagai penemuan berarti bahwa aksioma-aksioma merupakan kebenaran pasti yang sudah ada lebih dahulu di luar pengaruh manusia.
       Jadi, matematika ditinjau dari aspek ontologi, dimana aspek ontologi telah berpandangan untuk mengkaji bagaimana mencari inti yang cermat dari setiap kenyataan yang ditemukan, membahas apa yang kita ingin ketahui, seberapa jauh kita ingin tahu, menyelidiki sifat dasar dari apa yang nyata secara fundamental. Dari pandangan tersebut saya berpendapat matematika itu mengurangi ketidakpastian dalam bahasa verbal. Matematika berperan sebagai bahasa simbolik yang memungkinkan terjadinya komunikasi ilmiah dalam pengetahuan. Dengan matematika kita diajarkan berpikir logis dan sistematis.

2.    Epistemologi Matematika

Epistemologi berasal dari bahasa Yunani yaitu episteme yang berarti pengetahuan dan logos yang berarti teori. Secara etimologis, berarti teori pengetahuan. Jadi epistemologi merupakan pemikiran reflektif terhadap segi dari pengetahuan seperti kemungkinan, asal mula, sifat alami, batas-batas, asumsi dan landasan, validitas dan reliabilitas sampai kebenaran pengetahuan. Yang menjadi kajian epistemologi matematika adalah pertanyaan mengenai apakah matematika, termasuk pengetahuan apa, bagaimana cirinya, serta pembagian lingkup matematika. Demikian persoalan kebenaran matematika.  

Epistemologi (teori pengetahuan) mengkaji seluruh tolak ukur ilmu-ilmu manusia termasuk ilmu logika yang merupakan dasar dan pondasi segala ilmu dan pengetahuan. Walaupun ilmu logika dalam beberapa bagian memiliki kesamaan dengan epistemologi, akan tetapi, ilmu logika merupakan ilmu tentang metode berpikir dan berargumentasi yang benar, diletakkan setelah epistemologi.

Jadi, matematika ditinjau dari aspek epistemologi, matematika mengembangkan bahasa numerik yang memungkinkan untuk melakukan pengukuran secara kuantitatif. Dengan konsep-konsep yang kongkrit, kontektual, dan terukur sehingga matematika dapat memberikan jawaban secara akurat.

3.    Aksiologi Matematika

Aksiologi yaitu nilai-nilai, ukuran-ukuran yang mana akan dipergunakan seseorang dalam mengembangkan ilmu. Aksiologi tentang filsafat nilai, menguak baik-buruk, benar-salah dalam perspektif nilai. Aksiologi matematika terdiri dari etika yang membahas aspek kebenaran, tanggungjawab dan peran matematika dalam kehidupan, dan estetika yang membahas mengenai keindahan matematika dan implikasinya pada kehidupan yang bisa mempengaruhi aspek-aspek lain terutama seni dan budaya dalam kehidupan.

Jadi, jika ditinjau dari aspek aksiologi, matematika sangat banyak memberikan kontribusi perubahan bagi kehidupan. Segala sesuatu ilmu di dunia ini tidak bisa lepas dari pengaruh matematika. Dengan kemajuan ilmu dan teknologi maka pemenuhan kebutuhan dapat diperoleh secara cepat, tepat dan mudah. Dengan matematika, peradaban manusia berkembang dari sederhana menjadi modern yang bercorak ilmiah dan teknologi.

Kesimpulan:

Ada tiga landasan dalam mempelajari filsafat tak terkecuali filsafat matematika yaitu: 1) Ontologi matematika 2) Epistemologi matematika 3) Aksiologi matematika. Ontology matematika berupaya mencari inti yang termuat dalam setiap kenyataan. Epistemologi matematika mengembangkan bahasa numerik yang memungkinkan untuk melakukan pengukuran secara kuantitatif. Matematika ditinjau dari aspek aksiologi, matematika memberikan kontribusi perubahan bagi kehidupan umat manusia. Segala sesuatu ilmu di dunia ini tidak bisa lepas dari pengaruh matematika. Tanpa matematika perkembangan peradaban manusia akan menjadi berbeda dengan keadaaan yang telah dicapai saat ini.

Sumber:

http://wwwmatematics.blogspot.com/2009/03/filsafat-matematika.html

http://hardiyanto-pmatnrc.blogspot.com/2009/03/refleksi-perkuliahan-filsafat.html

http://wwwmatematics.blogspot.com/

Revolusi Matematika

Matematika telah berperan penting dalam kehidupan manusia. Langkah pertama matematika diambil dari budaya Mesir Kuno, Mesopotamia dan Yunani. Di Timur matematika mencapai puncaknya yang dinamis sedangkan di Barat mengalami penurunan dan banyak warisan matematika yang terlupakan. Terobosan matematika Timur akan mengubah Barat dan melahirkan dunia modern.

A.    Cina

Tembok besar Cina merupakan prestasi  teknik yang luar biasa yang mulai dibangun pada abad 220 dengan panjang ribuan mil yang dibuat untuk melindungi kerajaan Cina. Begitu mulai membangun, mereka menyadari harus membuat perhitungan tentang jarak, sudut elevasi dan jumlah material. Matematika Cina kuno adalah sistem bilangan yang sangat sederhana yang meletakkan dasar untuk cara menghitung di Barat. Seorang matematikawan melakukan perhitungan dengan menggunakan batang bambu kecil. I, II, III, IIII, ,IIII, I, II, III, IIII, batang ini disusun mewakili angka 1 sampai 9. Batang ini kemudian diletakkan dalam kolom. Setiap kolom mewakili satuan, puluhan, ratusan, ribuan dan seterusnya. Masalah dari sistem bilangan Cina adalah tidak memiliki konsep nol . Namun tidak adanya nol tidak menghentikan Cina untuk membuat langkah-langkah besar matematika.

Menurut legenda kedaulatan Cina, orang-orang Cina masih percaya kekuatan mistik angka misalanya angka ganjil dipandang sebagai pria, angka 8 membawa keberuntungan. Orang Tiongkok tertarik pada pola penjumlahan yang disebut persegi ajaib,merupakan semua angka yang apabila disusun horizontal, vertikal dan diagonal jumlahnya sama yaitu 15. Matematika juga berperan penting dalam menjalankan pengadilan kaisar,misalnya kelender. Segala sesuatu dalam hidup kaisar ditentukan oleh kalender yang menyangkut presisisi matematis. Kekaisaran diperlukan tenaga sipil yang sangat terlatih dalam bidang matematika misalnya perdagangan, perpajakan, pembayaran upah. Dalam hal ini terdapat salah satu masalah yaitu bagaimana memecahkan persamaan. Luar biasanya sistem persamaan ini tidak muncul di Barat sampai awal abad ke 19. Pada 1809,Carl Frederich Gauss menemukan kembali metode yang dirumuskan Cina kuno pada abad sebelumnya.

Teorema sisa Cina datang dengan masalah baru. Dalam hal ini diketahui jumlah yang tersisa ketika persamaan yang tidak diketahui jumlahnya dibagi dengan angka yang diberikan yaitu 3, 5 atau 7. Tentu saja ini cukup abstrak tetapi Cina kuno masih menulis dengan istilah praktis. Pada abad ke 6, teorema sisa Cina digunakan dalam astronomi untuk menghitung pergerakan planet. Pada abad ke 13 matematika dijadikan kurrikulum dan lebih dari 30 sekolah matematika tersebar diseluruh Cina. Masa keemasan matematika Cina  paling penting adalah Qin Jiushao. Qin mulai mencoba memecahkan masalah persamaan kuadrat melibatkan sejumlah kuadrat misalnya 5x5. Namun Qin tertarik pada persamaan yang lebih rumit yaitu persamaan kubik(3D). Qin menemukan cara memecahkan persamaan kubik dengan mengetahui volume dan hubungan antara dimensi. Qin menemukan persamaan kubik yang tidak ditemukan di Barat sampai abad ke 17. Isaac Newton datang dengan metode pendekatan yang mirip. Ada masalah pada teknik Qin karena hanya memberikan perkiraan solusi. Qin tidak bisa meninjukkan dengan rumus untuk memberikan solusi yang tepat untuk persamaan yang rumit.

B.     India

India hebat dalam sistem bilangan. Seperti Cina, India menemukan manfaat matematika dari sistem nilai desimal dan telah digunakan pada pertengahan abad ke 3. Sistem bilangan India menciptakan sembilan angka. Angka baru yang aneh yang terukir di dinding candi kecil di benteng di Gwalior, India Tengah yaitu angka nol. Angka India sebelumnya tidak ada nol. Seperti kita ketahui Cina, nol telah digunakan sebagai ruang kosong. Orang India merubah ruang kosong sehingga diperoleh 10 digit yaitu nol sampai 9. Ide dan simbol nol orang India berasal dari perhitungan menggunakan batu di pasir. Ketika sebuah batu dihapus dari perhitungan sebuah lubang bulat kecil dibiarkan di tempatnya. Pada abad ke 7, matematikawan India Brahmagupta membuktikan beberapa penting sifat dari nol. Brahmagupta mengatur cara menghitung dengan  nol. Satu ditambah nol sama dengan satu. Satu minus nol sama dengan satu. Satu kali nol sama dengan nol. Tapi Brahmagupta kesulitan ketika mencoba melakukan satu dibagi dengan nol. Ini memunculkan konsep baru matematika yaitu tak terhingga, dan terobosan itu dibuat oleh seorang ahli matematika abad ke 12 India yaitu Bhaskara II. India melangkah lebih jauh dalam perhitungan dengan nol. Misalnya jika diambil tiga dari tiga dan mendapatkan nol, apa yang terjadi ketika mengambil empat dari tiga?. Ini memunculkan hal baru yaitu angka negatif. Orang India menyebutnya dengan  hutang.

Orang India melakukan pendekatan abstrak untuk masalah memecahkan persamaan kuadrat. Pemahaman Brahmagupta tentang angka negatif memungkinkan untuk melihat bahwa persamaan kuadrat selalu memiliki dua solusi, salah satunya negatif. Pemecahan persamaan kuadrat dengan dua variabel belum sampai Barat sampai 1657, ketika Fermat matematikawan Perancis  menantang rekan-rekannnya dengan masalah yang sama. Brahmagupta mulai menemukan cara abstrak memecahkan persamaan tersebut. Brahmagupta mengembangkan bahasa matematika baru untuk mengekspresikan abstraksi itu dengan cara penulisan persamaan ke bawah, menggunakan inisial nama-nama warna yang berbeda untuk mewakili yang tidak diketahui dalam persamaan itu. Bukan hanya notasi baru yang dikembangkan, matematikawan India membuat penemuan baru dalam teori trigonometri. Meskipun pertama kali dikembangkan oleh orang Yunani kuno, namun ditangan matematikawan India, trigonometri berkembang. Penelitian terletak pada segitiga siku-siku. Ada fungsi disebut sinus, memungkinkan untuk menghitung jarak ketika tidak dapat membuat pengukuran yang akurat. Orang India menggunakannya untuk mengukur tanah, navigasi laut, memetakan kedalaman ruang, para astronom India bisa menggunakan trigonometri  untuk bekerja diluar jarak relatif antar bumi dan bulan, dan bumi dan matahari. Fungsi sinus 1/7 derajat memberi rasi 400:1. Ini berati matahari adalah 400 kali lebih jauh dari bumi dibanding bulan. Jadi dengan trigonometri matematikawan India bisa mengeksplorasi tatasurya tanpa harus meninggalkan permukaan bumi.

Pada abad ke 15, Madhava merupakan penemuan matematika luar biasa. Kunci keberhasilan Madhava adalah konsep tak terbatas. Madhava banyak melakukan penelitian ke dalam trigonometri. Salah satu terpenting dalam matematika adalah pi. Pi adalah rasio lingkaran untuk diameternya. Jadi selama berabad-abad matematikawan mencari nilai yang tepat untuk pi. Abad 6 matematikawan India, Aryabhata memberikan perkiraan yang akurat untuk pi yaitu 3,1416. Dia melanjutkan penelitian untuk membuat pengukuran keliling bumi dengan hasil 24,835 mil.

C.    Timur Tengah

Pada abad ke 7 sebuah kerajaan mulai menyabar di Timur Tengah. Ajaran nabi Muhammad sangat mengilhami kerajaan Islam. Sebuah perpustakaan besar dan pusat pembelajaran didirikan di Baghdad sebagi subjek yang mempelajari astronomi, kedokteran,kimia, dan matematika. Para ulama muslim dikumpulkan untuk menerjemahkan teks kuno. Para ulama ini tidak puas menerjemahkan matematika karya orang lain. Para ulama ingin menciptakan matematika sendiri. Kebutuhan islam menuntut keterampilan matematika. Misalnya untuk menghitung waktu solat dan arah Mekah untuk berdoa.

Al-Khwarizmi adalah matematikawan  dari Persia yang hebat karena memperkenalkan konsep matematika ke Barat. Karya Al-Khwarizmmi menjelaskan kekuatan angka-angka untuk mempercepat perhitungan. Angka-angka sekarang telah dikenal sebagai angka Hindu-Arab yaitu angka 1 sampai 9 dan nol. Al-Khwarizmi  menciptakan buku yang berjudul Al-Jabr W’al Muqabala,atau perhitungan dengan restorasi atau pengurangan dan lebih dikenal aljabar. Dia mengembangkan cara sistematis untuk dapat menganalisa masalah sehingga solusi apapun akan bekerja apapun angka yang diambil. Al Khwarizmi menggunakan aljabar untuk persamaan kuadrat. Para Mesopotamia telah merancang metode untuk memecahkan persamaan kuadrat namun aljabar abstrak  Al-Khwarizmi yang akhirnya bisa memecahkan.

Matematikawan berikutnya adalah Holi Grail menemukan metode umum yang bisa  memecahkan semua persamaan kubik. Abad ke-11 matematika Persia, Omar Khayyam. Khayyam adalah seorang penyair terkenal, penulis puisi hebat. Daripada mencari contoh khusus, Khayyam melakukan analisis masalah secara mendalam pada aljabar Al-Khwarizmi namun ia juga masih dipengaruhi oleh warisan geometris dari Yunani. Dia tidak bisa memisahkan aljabar dan geometri. Meskipun geometri untuk menganalisa persamaan kubik sampai batas tertentu tapi dia masih tidak bisa menemukan solusi murni aljabar.

D.    Italia

Pada abad ke 13 dimulai oleh Italia, Eropa mulai mengeksplorasi perdagangan timur. Dengan kontak yang datang menyebabkan penyebaran pengetahuan Timur ke Barat. Matematikawan yang berpengaruh adalah Leonardo dari Pisa lebih dikenal sebagai Fibonacci. Fibonacci mempromosikan sistem nomor baru yang sederhana dibanding dengan angka romawi yang digunakan diseluruh Eropa. Angka Hindu-Arab, nol sampai 9 mematikan angka romawi. Fibonacci adalah penemu angka terbaik, sekarang disebut deret  Fibonacci yang muncul ketika ia mencoba untuk memcahkan teka-teki tentang persilangan kelinci.

Universitas Bologna adalah wadah pemikiran matematikawan Eropa di awal abad 16. Tartaglia sama sekali tidak terlihat arsitek heroik dari matematika baru. Tartaglia dijauhi oleh teman-teman sekolahnya, sehingga Tartaglia kehilangan dirinya dalam matematika. Tidak lama dia menemukan formula untuk menyelesaikan satu jenis persamaan kubik. Namun Tartaglia bukan satu-satunya untuk dipercaya akan memecahkan persamaan kubik. Fior, matematikawan Italia juga memegang rumus untuk memecahkan persamaan kubik. Kemudian dibuat kontes antara matematikawan. Tartaglia hanya tahu bagaimana memecahkan satu jenis persamaan kubik sedangkan Fior siap menantangnya. Sehari sebelum kontes, Tartaglia berhasil memecahkan semua persamaan dan akhirnya dia bisa menjawab pertanyaan dan memecahkan semua masalah dalam waktu kurang dari dua jam. Tartaglia melanjutkan formula untuk memecahkan semua jenis persamaan kubik. Berita segera menyebar  dan matematikawan Milan Cardano menjadi begitu putus asa untuk menemukan solusinya, dia membujuk Tartaglia untuk menungkapkan rahasia solusi Tartaglia namun dengan satu syarat Cardano harus menjaga rahasia dan tidak pernah mepubliksaikannya. Namun,Cardano tidak tahan membahas solusi Tartaglia dan akhirnya Cardano mempublikasikan kerahasiannya. Sampai saat ini rumus memecahkan persamaan kubik dikenal sebagai rumus Cardano bukan rumus Tartaglia.

Sumber: BBC. The Story of Math(2009).2of4.WS.PDTV.XviD.Ekolb.avi-YouTube

Persoalan Sejarah Matematika

(Aritmatika dan Aljabar Mesir, Perhitungan Bilangan Hindu Arab, Penemuan Bilangan Irrasional, Persoalan Aneh dalam Papyrus Rhind, Penemuan Bilangan Prima)

Tuntutan terhadap matematika terus berkembang seiring dengan kemajuan peradaban manusia. Matematika tidak tumbuh sendiri namun tumbuh bersama disiplin ilmu lainnya terutama ilmu filsafat dan ilmu fisika, saling mengisi dalam memecahkan masalah kehidupan dan lingkungannya. Disamping menjadi dasar ilmu teknik misalnya fisika, matematika juga memberikan inspirasi pemikiran kepada bidang lainnya seperti kedokteran/medis, bidang sosial, ekonomi, psikologi, arsitektur dan kegiatan budaya seperti pada seni musik dan lukis. Dapat dikatakan bahwa fungsi matematika selain mengenai matematika itu sendiri juga merupakan suatu bahasa komunikasi, proses dan interaksi bagi pengetahuan dan ilmu pengetahuan lainnya. Matematika itu indah jika kita mengenalnya dan mencoba mengerti jalan pikirannya. Tidak  ada yang perlu ditakutkan dalam mengenal matematika.

Dalam sejarah metematika kita dapat menemukan persoalan yang dihadapi pada jamannya misalnya:

A.      Aritmetika dan Aljabar Mesir

Semua dari 110 soal yang terdapat di papyrus Moscow dan Rhind mengenai bilangan dan kebanyakan sifatnya sederhana. Salah satu akibat dari angka Mesir ialah corak aditif. Perkalian dan pembagian biasanya dilakukan dengan operasi-operasi perkalian dua. Sebagai contoh cari hasil kali dari 26 dan 33. Karena 26=16+8+2, kemudian menjumlah perkalian dari 33. Perhitungan tersebut dapat disusun sebagai berikut:

1	33
*2	66
4	132
*8	264
*16	528
	858

Penjumlahan dari perkalian yang tepat dari 33 adalah perkalian yang ditandai dengan bintang dan hasilnya adalah 858. Contoh dari pembagian ,membagi 753 dengan 26. Berturut-turut bilangan pembagi 26 kita lipat duakan sampai saat perkalian yang berikutnya melampaui bilangan yang dibagi.

1	26
2	52
*4	104
*8	208
*16	416
28

karena 753  = 416+337

                   = 416+208+129

                   = 416+208+104+25

Dengan memperhatikan bilangan-bilangan yang ditandai bintang diatas, hasilnya baginya adalah 16+8+4=28 dengan sisa 25.

Orang-orang mesir berusaha menghindari beberapa kesulitan dalam perhitungan pecahan-pecahan dengan menyajikan semua pecahan,kecuali  sebagai jumlah pecahan-pecahan dengan satuan. Reduksi ini dimungkinkan oleh daftar yang memuat pecahan dari bentuk . Soal-soal dari papyrus Rhind didahului dengan daftar serupa untuk semua bilangan ganjil 5 sampai 101. Jadi diperoleh dinyatakan sebagai +, dinyatakan sebagai dinyatakan sebagai + . Daftar ini dimanfaatkan dalam beberapa soal papyrus. Banyak dari 110 soal dalam papyrus Rhind dan Moscow memperlihatkan asal yang praktis seperti membahas soal-soal mengenai roti dan bir, campuran makan untuk ternak dan penyimpanan gandum. Banyak diantaranya hanya memerlukan persamaan linear sederhana. Missalnya untuk memecahkan . Ambil nilai sebarang yang mudah untuk x, misalkan x=7. Maka  dan bukan 24. Karena harus dikalikan 3 untuk menghasilkan 24,x yang benar haru 3(7) atau 21.

            Dalam papyrus Rhind ditemukan tanda-tanda plus dan minus. Tanda pertama mewakili sepasang kaki yang berjalan dari kanan ke kiri dan yang lain sepasang kaki yang berjalan dari kiri ke kanan. Tanda tersebut digunakan pula untuk menyatakan kesamaan dan bilangan.

B.       Penghitungan Bilangan Hindu Arab

            Orang-orang Hindu umumnya menulis di atas papan tulis hitam kecil dengan suatu pena dari rumput-rumputan yang dibasahi dengan cap putih yang mudah dihapus. Tempat untuk menulis hanya sedikit dan agar dapat dibaca angka-angkanya harus cukup besar tetapi penghapusan dan pembetulan mudah sekali dilakukan. Oleh karena itu cara menghitungnya dibuat sedemikian rupa agar ruang penulisan dapat digunakan dengan menghapus sebuah angka segera setelah selesai digunakan.

            Penambahan secara Hindu kuno mungkin dilakukan dari kiri ke kanan dan bukan dari kanan ke kiri seperti yang kita lakukan sekarang. Misalnya penambahan 345 dan 488.

8	3
7	2	3
3	4	5
4	8	8

Yang melakukan hitungan mengatakan 3+4=7 dan menulis angka 7 diatas kolom yang kiri. Berikutnya 4+8=12 yang merubah 7 menjadi 8 diikuti angka 2. Maka angka 7 dihapus dan ditulis 82. Lalu 8+5=13 yang merubah angka 2 menjadi 3,diikuti dengan 3 lagi dan jawaban terakhir 833 tertera pada tepi atas tablet. Dalam suatu ulasan karya Bhaskara:dijumpai cara lian penjumlahan 345 dan 488 akan berjalan sebagai berikut:

Jumlah satuan              5+8=   13

Jumlah puluhan           4+8= 12

Jumlah ratusan            3+4= 7

Jumlah                                = 8 3 3

Banyak cara digunakan untuk perkalian. Misalnya perkalian 569 dengan 5. Dapat dikerjakan pula dari kiri ke kanan.

	8	4
2	5	0	5
	5	6	9	5

Tulis 569 diikuti bilangan untuk memperbanyak 5 pada garis yang sama.Karena 5x5=2, maka 25 ditulis diata 569. Selanjutnya 5x6=30 yang merubah angka 5 dalam 25 menjadi 8diikuti suatu 0. Angka 5 dicoret dan menulis 8 diatasnya. Lalu 5x9=45 yang merubah 0 menjadi 4 diikuti dengan 5. Hasil kali yang terakhir 2845 sekarang Nampak pada bagian atas tablet.

Suatu perkalian yang lebih berkomplikasi seperti 135x12. Dapat diselesaikan dengan menghitung seperti cara diatas 135x4=540, lalu 540x3=1620. Cara perkalian yang lain yang dikenal oleh orang-orang Arab dan mungkin didapat dari orang-orang Hindu banyak menyerupai cara sekarang.

Pengembangan untuk operasi-operasi aritmetika elementer dimulai di India mungkin sekitar abad kesepuluh atau kesebelas diambil oleh orang Arab dan kemudian dibawa ke Eropa Barat dan disana diubah menjadi bentuk yang sekarang.

C.      Penemuan Bilangan Irrasional

Keperluan hidup sehari-hari menuntut untuuk selalu mengukur dan menghitung. Untuk mencukupi kebutuhan pengukuran tidak hanya dibutuhkan bilangan bulat melainkan diperlukan pecahan-pecahan karena jarang sekali pengukuran dapat menghasilkan bilangan bulat. Bilangan rasional dapat ditafsirkan dengan geometri yang sederhana yaitu tandailah sebuah garis denagn titik 0 dan 1. Dari sini bilangan-bilangan negatif bisa ditunjukkan pada titik sebelah kiri 0 bilangan bulat positif di sebelah kanan 1 sedangkan pecahan-pecahan q dinyatakan dengan titik-titik yang membagi tiap satuan selisih dalam bagian yang sama. Dengn cara seperti itu muncul kesenjangan,bahwa terdapat titik pada garis itu yang tidak mewakili bilangan rasional. Para pengikut Phytagoras menunjukkan bahwa tidak ada bilangan rasional manapun yang menyatakan titik P dalam garis itu yang berjarak dari OP sebesar diagonal dari bujursangkar denagn sisi sebesar 1 satuan.

 

0

1

Sehingga perlu diciptakan bilangan baru untuk menyatakan bilangan tersebut. Dari sinilah lahir bilangan irrasional. Untuk membuktikan bahwa panjang diagonal tersebut bukan bilangan rasional atau membuktikan  adalah irrasional. Dalam hal ini dibutuhkan memisalkan  bilangan rasional artinya =,dimana a dan b sebagai bilangan bulat prima maka

=

   a= b atau a²=2b²

karena a²=2 kali suatu bilangan bulat maka a² genap sehingga a juga genap.

Misalkan a=2c maka persamaan menjadi

4c²=2b²

2c²=b², sehingga b² genap dan b pun juga genap.

Tetapi ini tidak mungkin karena a dan b tidak mungkin genap karena merupakan bilangan prima relatif. Jadi asumsi bahwa  bersifat rasional  telah membawa pada kemustahilan dan harus dibatalkan.

Penemuan irrasional  ini menimbulkan kebingungan dalam barisan Phytagoras. Penemuan ini tidak hanya mengacaukan asumsi dasar bahwa segala sesuatu berlandaskan bilangan-bilangan bulat, tetapi karena batasan Phytagoras mengenai proporsi menganggap bahwa semua ukuran sejenis ada satuan ukurannya yang sama, maka semua dalil-dalil dalam teori Phytagoras tentang proporsi harus dibatasi pada  satuan ukuran sama.

Dalam waktu lama  adalah satun-satunya bilangan irrasional yang dikenal. Baru kemudian menurut Plato,Thecdoris menunjukkan bahwa          juga merupakan bilangan irrasional.

D.      Persoalan yang Aneh dalam Papyrus Rhind

Sekalipun tidak dijumpai kesulitan dalam pengungkapan dan penafsiran kebanyakan soal-soal dalam papyrus Rhind ada satu soal yaitu soal nomer 79 yang penafsirannya tidak begitu pasti. Dalam soal ini terdapat sekumpulan data yang ganjil yang diterjemahkan yaitu sebagai berikut:

Perusahaan pertanian

Rumah                                7

Kucing                                         49

Tikus                               343

Ikatan gandum                          2401

Ukuran hekat              16807

19607

Dengan mudah dapat dikenali bilangan-bilangan itu sebagai lima perpangkatan yang pertama dari 7 disusul jumlahnya. Karena inti semua diduga bahwa penulisannya disini memperkenalkan istilah-istilah lambing seperti rumah,kucing dan sebagainya untuk perpangkatan satu,dua,tiga dan seterusnya.

Suatu keterangan yang lebih bisa diterima dan menarik telah diberikan oleh sejarah Moritz Cantor. Ia menganggap ini sebagai soal kuno yang mendahului soal yang dikenal umum pada abad pertengahan dan diberikan oleh Leonard Fibonanci pada tahun 1202 dalam karya Libber Abaci. Soal-soal yang dimuat dalam buku ini terdapat berikut: “ Ada tujuh orang wanita berada dijalan yang menuju Roma. Tiap wanita mempunyai tujuh kuda, tiapo kuda membawa tujuh karung, tiap karung membawa tujuh potong roti, tiap roti disertai tujuh pisau, dan tiap pisau dimasukkan dalam tujuh sarung. Wanita,kuda, karung, potongan roti, pisau dan sarung, berapakah seluruhnya yang berada di jalan menuju Roma?”.

Disni dijumpai suatu soal masih terpelihara dari perbendaharaan teka-teki dunia. Soal ini jelas sudah tua waktu Fibonanci memasukkan suatu versi dalam Liber Ataci. Tujuh ratus lima puluh tahun kemudian kita membaca suatu versi lain. Dengan sendirinya orang bertanya-tanya apakah dalam soal mesir yang kuno juga terdapat pemutarbalikan yang mengherankan seperti yang terdapat selama inggris kuno.

E.       Penemuan Bilangan  Prima

Dalam artmatika nama Erasosthenes disebut sehubungan dengan cara  untuk menemukan semua bilangan prima yang besarnya kurang dari suatu bilangan tertentu. Cara ini disebut dengan nama saringan. Kita tulis berturut-turut semua bilangan ganjil yang lebih kecil dari n dimulai dengan 3. Bilangan-bilangan komposit dalam urutan itu disaring dengan mencoretnya,tiap bilangan ketiga setelah 3, tsemua bilangan kelima setelah 5, semua bilangan ketujuh setelah 7, semua bilangan kesebelas setelah 11 dan seterusnya. Dengan cara ini beberapa bilangan akan dicoret lebih dari satu kali.

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 dst

Semua bilangan yang tertinggal bersama denagn bilangan 2 merupakan daftar bilangan prima yang lebih kecil n.

Hasil yang dicapai pada zaman kuno adalah pembuktian Euclid bahwa jumlah bilangan prima adalah tak terhingga dan saringan Erastosthenes untuk menemukan semua bilangan prima. Dari saringan Erastosthenes dapat dibuat sebuah rumus yang rumit yang dapat menentukan jumlah bilangan prima dibawah n, jika bilangan-bilangan prima ini dibawah n telah diketahui. Rumus ini telah banyak diperbaiki oleh Ernst Meissel yang berhasil menunjukkan bahwa jumlah bilangan prima dibawah 10⁸ adalah 5.761.455. Ahli matematika Amerika D.H Lehmer  menunjukkan jumlah bilangan prima dibawah 10⁹ adalah 50.847.543. Ia menunjukkan juga bahwa jumlah bilangan prima dibawah 10¹⁰ adalah 455.052.511.

Sebuah impian dari ahli-ahli teiri bilangan ialah untuk menemukan fungsi f(n) untuk bilangan bulat positif n hanya akan menghasilkan bilangan-bilangan prima dan deretan bilangan prima yang didapat dengan cara berbeda dalam jumlah tak terhingga. Banyak dugaan yang tidak dibuktikan mengenai bilangan prima. Salah satu diantaranya menyatakan bahwa ada pasangan-pasangan dalam jumlah tak terbatas dari bilangan prima kembar atau prima dalam bentuk p dan p+2, seperti 3,5,11,dan 13, 29 dan 31. Kemajuan dalam masalah berapa jumlah bilangan prima,waktu ahli matematika Rusia Schnirreimann menunjukkan bahwa setiap bilanganbulat positif dapat dinyatakan sebagai jumlah dari tidak kebih 300.000 bilangan prima. Kemudian ahli metematika Rusia Vinogradeff menunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat positif sedemikian hingga tiap bilangan n dapat dinyatakan sebagai jumlah dari tidak lebih empat bilangan prima tapi pembuktian ini tdak sedikitpun memungkinkan untuk menaksir besarnya n.